Segmento
es la porción de recta limitada por dos puntos, llamados extremos.
Se
designa por los puntos que lo limitan o por una letra minúscula.
Tipos de segmentos:
1
Segmento nulo:
Un
segmento es nulo cuando sus extremos coinciden.
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Polígonos
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Un
polígono es una figura plana cerrada delimitada por segmentos. A estos
segmentos se les llama lados.
La
palabra polígono está formada por dos voces de origen griego: “polys”:
muchos y “gonía”: ángulos; por lo tanto, es una figura con varios
ángulos.
También
se define como una poligonal cerrada.
El
polígono más pequeño es el triángulo, que tiene tres lados y tres ángulos.
El
polígono es la frontera que separa al plano en dos regiones: una que está
dentro, llamada región interior del polígono y una exterior, llamada región
exterior del polígono. El plano es la unión de estos tres subconjuntos.
Un polígono está formado por elementos básicos.
Éstos son:
1.
vértice
2.segmentos
(lados).
3. ángulo
interior
4. ángulo
exterior
5.
diagonal
1. Vértice:
es el punto de intersección de dos segmentos contiguos. Se designan con una
letra mayúscula A, B, C, D...
2. Lados: es cada uno de los segmentos de recta que forman el
polígono. Se designa con dos letras mayúsculas ubicadas en sus extremos, o con
una letra minúscula en correspondencia con el vértice opuesto: AB = d, BC
= e , CD = a, DE = b, EA = c
3. Ángulo interior: es el ángulo formado por
dos lados del polígono. El ángulo interior se designa con una letra
griega o con las tres letras mayúsculas de los vértices que correspondan.
4. Angulo exterior: es el ángulo
formado por un lado y la prolongación de otro contiguo hacia la región
exterior. Generalmente se designa con la letra griega del ángulo interior
adyacente acompañada de un subíndice.
5. Diagonal:
es el trazo que une dos vértices
no consecutivos del polígono. Se designa con las dos letras mayúsculas
correspondientes a los vértices que se unen, o por una letra d con subíndice:
AC =d1, AD = d2.
Apotema
de un polígono regular
La
apotema de un polígono regular es el segmento perpendicular a un lado desde el
centro del polígono. Es básica para conocer el área del polígono ya que es la
altura de cada uno de los triángulos formados por cada dos radios y el lado.
Elementos
secundarios de un polígono
En todo
polígono (el triángulo es un polígono) podemos obtener elementos secundarios
como:
Bisectrices: se denomina bisectriz al rayo
que dimidia al ángulo, es decir, lo divide en 2 partes iguales.
Simetrales: la simetral es una recta
perpendicular que dimidia a un trazo.
Alturas: una altura, cuyo símbolo es h,
es el trazo perpendicular que une un lado del triángulo con el vértice opuesto.
Transversales: la transversal es el segmento
que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.
Medianas. son los segmentos que unen los
puntos medios del triángulo.
Definción de triángulo
Un triángulo es un polígono
de tres lados.
Un triángulo está
determinado por:
1. Tres segmentos
de recta que se denominan lados.
2. Tres
puntos no alineados que se llaman vértices.
a)Los vértices se escriben con letras mayusculas.
b)Los lados se escriben en minuscula, con la misma letra de los vértices opuestos.
c)Los ángulos se escriben igual que los vértices.
Propiedades de los triángulos
1.- Un lado
de un triángulo es menor
que la suma de los otros
dos y mayor que su diferencia.
a < b + c
a > b - c
2.-La suma
de los ángulos interiores de un triángulo
es igual a 180°.
A + B + C =180º
3.- el valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
α = A + B
α = 180º - C
4.- En un triánngulo a mayor lado se opone mayor ángulo.
5.- Si un tríangulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos tambien son iguales.
Triángulos iguales
1) Dos triángulos
son iguales cuando tienen iguales
un lado y sus dos ángulos adyacentes.
2) Dos triángulos
son iguales cuando tienen dos
lados iguales y el ángulo comprendido.
3) Dos triángulos
son iguales cuando tienen los tres lados iguales.
Clases de triángulos según sus lados
Triángulo equilátero
Tres lados son iguales
Triángulo rectángulo
Un ángulo recto
El
lado mayor es la hipotenusa.
Los
lados menores son los catetos
Triángulo obtusángulo
Un ángulo obtuso
Perímetro de un triangulo
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Triángulo Equilátero
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Triángulo Isósceles
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Triángulo Escaleno
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Área de un triángulo
Ejemplo
Hallar el área del siguiente triángulo :
Área de un triángulo rectángulo
El área de un triángulo rectángulo es igual al producto de los catetos partido
Ejemplo
Hallar el área del triángulo
rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm.
Triángulo rectángulo
Un triángulo rectángulo
tiene un ángulo recto y dos agudos.
Hipotenusa
La hipotenusa es el lado opuesto
al ángulo recto, y es lado mayor del triángulo.
Catetos
Los catetos son los lados
opuestos a los ángulos agudos, y son los lados
menores del triángulo.
Área de un triángulo rectángulo
El área de un triángulo rectángulo es
igual al producto de los catetos partido por 2.
Teoremas
Del cateto
En todo triángulo rectángulo un cateto es
media proporcional
entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.
De la altura
En un triángulo rectángulo, la altura relativa a
la hipotenusa es media proporcional entre los 2 segmentos que dividen a ésta.
De Pitágoras
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
FORMULA GENERAL PARA LA HIPOTENUSA
Teorema de pitágoras ER1
Vamos a ver 2 ejemplos en los que se puede aplicar el teorema de pitágoras, los casos son muchos. Recordemos que podemos aplicar este teorema cuando queramos hallar algún dato de un plano que genere un triángulo rectángulo.
1.
2.
Recordemos que en un triángulo equilátero sus lados miden igual. Como solo tomamos la mitad de la base el valor sería 5/2 = 2.5.
Como en este caso el dato conocido representa el lado más largo, se define como la hipotenusa.
Teorema de Pitágoras: Definición
Teorema de Pitágoras: Definición
En un triángulo rectángulo se define el lado más largo como la hipotenusa y los otros dos como los catetos.
El teorema de pitágoras demuestra que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
De esta manera se puede hallar uno de los lados teniendo los otros dos y aplicando la fórmula adecuada. Por ejemplo:
Teniendo los catetos a=3 y b=4, tendriamos que la hipotenusa sería:
